この記事では、「古典的な位置と運動量の測定」を量子力学でモデル化すると、シュレディンガー方程式から古典力学の方程式（リウヴィル方程式）が導出できるという話を書きます。
導出過程で量子論形式で扱った古典力学が出てくるので、先にこちらの記事に目を通されてから読むことをお勧めします。
この記事では以下のように用語を使用します。
- 状態：あらゆる測定に対する測定値の確率分布の総体
- 古典系：対象とする全ての物理量が同時に測定可能な系
- 古典力学 ：位置と運動量を基本変数にとった古典系で、古典リウヴィル方程式に従って時間発展する確率論
- 量子論：ヒルベルト空間とその上の演算子を用いた確率論
- 量子力学：正準交換関係を満たす位置と運動量を基本変数にとった量子論で、シュレディンガー方程式に従って時間発展する確率論
簡単のため、以下では1次元の1粒子の量子力学を対象とします。
ある物理系が古典力学で十分に解析できる状況にあっても、原理的には量子力学に従っていると考えられます。
このことは、古典的な位置と運動量の測定を量子力学のPOVMとして定式化できる事を示唆しています。
そこで、この記事では、
- 量子力学において「古典力学の位置と運動量の測定」を定式化
- 「古典力学の位置と運動量」のシュレディンガー方程式による時間発展から古典力学のリウヴィル方程式を導出
の2つの内容について解説します。
目次
並進操作の代数構造について
量子力学において、物理量は基本的に正確な同時測定ができません。
特に不確定性原理によって、古典力学の状態を指定する位置と運動量の値を同時に確定させることができません。
こういった性質は量子力学における物理量と物理操作の代数構造から導かれます。
前回の記事に対応する形で表記すると、位置並進と運動量並進について、
\begin{eqnarray}
e^{ip_0\hat \lambda_p}\hat xe^{-ip_0\hat \lambda_p}&=&\hat x \\
e^{ix_0\hat \lambda_x}\hat xe^{-ix_0\hat \lambda_x}&=&\hat x + x_0 \\
e^{ix_0\hat \lambda_x}\hat pe^{-ix_0\hat \lambda_x}&=&\hat p \\
e^{ ip_0\hat \lambda_p}\hat pe^{ -ip_0\hat \lambda_p}&=&\hat p + p_0 \\
e^{-ix_0\hat \lambda_x}e^{ -ip_0\hat \lambda_p}e^{ix_0\hat \lambda_x}e^{ ip_0\hat \lambda_p}&=&e^{-ix_0 p_0/\hbar}\tag{1}
\end{eqnarray}
が成立します。
ここで、$\hat \lambda_x := \hat p/\hbar,\ \hat \lambda_p := -\hat x/\hbar$としています。
前回の記事と比較すると、古典力学と異なるのは最後の行の式(1)であることが分かります。
式(1)は位置並進操作と運動量並進操作が量子力学においては位相因子の分だけ非可換であることを意味しています。*1
古典力学のように式(1)の右辺が恒等演算子になる条件は
$$
x_0 p_0 =2\pi\hbar n=hn\tag{2}
$$
です。ここで、$n$は整数です。
位置並進と運動量並進は、パラメータの対$(x_0,p_0)$によって定まるので、式(2)の条件と両立する操作の全体(古典的な操作の全体)は$(x_0,p_0)$の集合として定めることができます。
この集合を$C(h)$とすると、並進操作の整合性のために$C(h)$は以下を満たす必要があります。
- 任意の$(a,b)\in C(h)$に対して、$ab=hn$となる整数$n$が存在する。
- 任意の$(a_1,b_1),\ (a_2,b_2)\in C(h)$に対して、$(a_1+a_2,b_1+b_2)\in C(h)$
- $(0,0)\in C(h)$
- ある$a_0> 0,\ b_0> 0$が存在して、$(a_0,0),\ (0,b_0)\in C(h)$
- 任意の$(a,b)\in C(h)$に対して、$(-a,-b)\in C(h)$
1.は式(2)のことで、2.は操作の組み合わせが可能であること、5.は逆の操作が可能であることをそれぞれ要請しています。
1.より、任意に固定した$(a,b),\in C(h)$に関して、整数$n$が存在して$a b=n h$が成り立ちます。
さらに4.で存在が保証された$(a_0,0)\in C(h)$と、2.を用いると、$(a_0+a,b)\in C(h)$なので、
\begin{eqnarray}
(a_0+a)b/h&=&a_0b/h+ab/h \\
&=& a_0b/h+n
\end{eqnarray}
は1.より、整数になるはずです。そのための必要十分条件は、ある整数$n'$が存在して$b=n'h/a_0$となることです。
特に、4.で存在が保証された$b_0$についても$b_0=n_0h/a_0$を満たす整数$n_0$が存在します。
同様に、$a=n''h/b_0$となる整数$n''$が存在することも証明できます。
以上から、任意の$(a,b)\in C(h)$は、ある整数$n,{k}$を用いて$(nh/b_0,kh/a_0)$と表すことができます。
以下では、$a_0=:\delta x$と固定した時に、集合$C(h)$が最大の集合になるように$n_0=1$とし、その時の集合を$C(h,\delta x)$とします。
また、$\delta p:= b_0=h/\delta x$とします。
これらの記号を用いると、任意の$C(h,\delta x)$の元は$(n\delta x,k\delta p)$と表すことができます。
条件式(2)を満たす操作の最大集合である$C(h,\delta x)$は$\mathbb{R}^2$内で格子状の離散的な集合ですが、プランク定数$h$が十分に小さいとみなせる状況(古典力学が有効な場合)では$\mathbb{R}^2$内で稠密な集合とみなすことができます。
古典力学の位置と運動量を量子力学で操作論的に定式化する
古典力学では位置と運動量は誤差なく同時測定が可能なので、古典力学で測定される位置と運動量は量子力学においては可換な自己共役演算子$$
\hat x_c,\ \hat p_c,([\hat x_c,\ \hat p_c]=0)
$$
によって定式化できると予想されます。*2
古典力学の性質は並進の代数構造から導かれるので、これを軸に定式化することを考えます。
前章の結果から、パラメータの集合$C(h,\delta x)$は古典的な代数構造を保つ並進操作の最大の集合になっています。
ここで、$\hat x_c,\ \hat p_c$は$C(h,\delta x)$による量子力学の並進操作について、古典力学の代数構造を満たすと仮定します。*3
つまり、
\begin{eqnarray}
e^{-i{m}\delta p\hat x/\hbar}\hat x_c e^{i{m}\delta p\hat x/\hbar}&=&\hat x_c \\
e^{i{m}\delta x\hat p/\hbar}\hat x_c e^{-i{m}\delta x\hat p/\hbar}&=&\hat x_c + m\delta x \\
e^{im\delta x\hat p/\hbar}\hat p_c e^{-im\delta x\hat p/\hbar}&=&\hat p_c \\
e^{-im\delta p\hat x/\hbar}\hat p_c e^{im\delta p\hat x/\hbar}&=&\hat p_c + m\delta p
\end{eqnarray}
が任意の整数${m}$で成立すると仮定します。
簡単のため、$\hat x_c,\ \hat p_c$はそれぞれ固有値$0$を持つとすると、可換であることから
$$
\hat x_c|0,0\rangle = \hat p_c|0,0\rangle =0
$$
となる同時固有ベクトルが存在します。$n,k$を整数として
$$
|n,k\rangle := e^{-in\delta x\hat p/\hbar}e^{ik\delta p\hat x/\hbar}|0,0\rangle = e^{ik\delta p\hat x/\hbar}e^{-in\delta x\hat p/\hbar}|0,0\rangle
$$
を定義すると、任意の$n,k$について
$$
\hat x_c|n,k\rangle = n\delta x|n,k\rangle,\ \hat p_c|n,k\rangle = k\delta p|n,k\rangle
$$
が成立します。
以下では、量子状態をこのベクトル$|n,k\rangle$で張られる部分空間の元に限定して、その性質をみていきます。 *4
量子力学の位置$\hat x$と運動量$\hat p$についての$|n,k\rangle$の波動関数は、定義から
\begin{eqnarray}
\langle x|n,k\rangle &=& e^{ik\delta px/\hbar}\langle x|n,0\rangle \\
\langle p|n,k\rangle &=& e^{-in\delta xp/\hbar}\langle p|0,k\rangle \\
\end{eqnarray}
となり、位置波動関数については$k$が、運動量波動関数については$n$がそれぞれ指数関数部分のみに、存在することが確認できます。
ここで、古典力学において、位置と運動量の単位を$\Delta X$,$\Delta P$程度のスケールにとり、これが$\delta x,\ \delta p$に対して
$$
\epsilon_x:=\delta x/\Delta X\ll 1,\ \epsilon_p:=\delta p/\Delta P\ll 1
$$
の関係にあるとします。
$X_c:=n\epsilon_x,\ P_c:=k\epsilon_p$を定義すると、これは$\epsilon_x,\epsilon_p$が十分小さい時には連続的な値をとるとみなすことができます。
固有ベクトル$|X_c,P_c\rangle:=|n,k\rangle$に対して位置演算子$\hat x$と運動量演算子$\hat p$は
\begin{eqnarray}
\langle X_c,P_c|\hat x|\psi\rangle &=& \int dx\ x\langle X_c,P_c|x\rangle\langle x|\psi\rangle\nonumber \\
&=& \int dx\ x\ e^{-i\Delta P P_c x/\hbar}\langle X_c,0|x\rangle\langle x|\psi\rangle\nonumber \\
&=& \frac{i\hbar}{\Delta P}\frac{\partial}{\partial P_c}\int dx\ e^{-i\Delta P P_c x/\hbar}\langle X_c,0|x\rangle\langle x|\psi\rangle\nonumber \\
&=& \frac{i\hbar}{\Delta P}\frac{\partial}{\partial P_c}\langle X_c,P_c|\psi\rangle
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\langle X_c,P_c|\hat p|\psi\rangle &=& \int dp\ p\langle X_c,P_c|p\rangle\langle p|\psi\rangle\nonumber \\
&=& \int dp\ p\ e^{i\Delta X X_c p/\hbar}\langle 0,P_c|p\rangle\langle p|\psi\rangle\nonumber \\
&=& -\frac{i\hbar}{\Delta X}\frac{\partial}{\partial X_c}\int dp\ e^{i\Delta X X_c p/\hbar}\langle 0,P_c|p\rangle\langle p|\psi\rangle\nonumber \\
&=& -\frac{i\hbar}{\Delta X}\frac{\partial}{\partial X_c}\langle X_c,P_c|\psi\rangle
\end{eqnarray}
と表すことができます。これは前回の記事の$\hat \lambda_x,\ \hat \lambda_p$の表式に一致しており、並進操作の代数構造のみから導出することができています。*5
さらに、古典力学で測定される位置と運動量の演算子$\hat x_c,\ \hat p_c$から、関数を介して作られる$A(\hat x_c,\hat p_c)=A'(\hat x_c/\Delta X,\hat p_c/\Delta P)$という演算子は古典力学における任意の物理量を記述できることもわかります。特に期待値は
$$
\langle \psi|A(\hat x_c,\hat p_c)|\psi\rangle=\sum_{X_c,P_c}A'(X_c,P_c)|\langle X_c,P_c|\psi\rangle|^{2}
$$
と計算することができます。*6
操作論的な古典物理量からリウヴィル方程式を導出する
$\hat x_c,\ \hat p_c$は量子力学の位置と運動量を近似的に測定できる必要があるので、$|0,0\rangle$は位置$\hat x$と運動量$\hat p$が$\delta x,\ \delta p$程度の幅で原点周りに局在した状態であると仮定すると、$\langle X_c,P_c|x\rangle,\ \langle X_c,P_c|p\rangle$が含まれる積分内で$(X-X_c)^{m}=O({\epsilon_x}^{m}),\ (P-P_c)^{n}=O({\epsilon_p}^{m})$とみなせます。 ($X:=x/\Delta X,\ P:=p/\Delta P$とした。) $\hat X:=\hat x/\Delta X,\ \hat P:=\hat p/\Delta P$として、この評価を用いると、テーラー展開可能な関数$f(X)$について \begin{eqnarray} \langle X_c,P_c|f(\hat X)-f(\hat X_c)|\psi\rangle &=& \int dx\ (f(X)-f(X_c))\langle X_c,P_c|x\rangle\langle x|\psi\rangle\nonumber \\ &=& \int dx\ \frac{d f}{d X}(X_c)(X-X_c)\langle X_c,P_c|x\rangle\langle x|\psi\rangle+O({\epsilon_x}^2)\nonumber \\ &=& \langle X_c,P_c|\frac{d f}{d X}(\hat X_c)(\hat X-\hat X_c)|\psi\rangle + O({\epsilon_x}^2) \end{eqnarray} が成立します。同様にテーラー展開可能な関数$g(P)$についても \begin{eqnarray} \langle X_c,P_c|g(\hat P)-g(\hat P_c)|\psi\rangle = \langle X_c,P_c|\frac{d g}{d P}(\hat P_c)(\hat P-\hat P_c)|\psi\rangle + O({\epsilon_p}^2) \end{eqnarray} が成立します。
以上を基に、古典系として測定される位置と運動量$\hat x_c,\ \hat p_c$の測定確率についての時間発展方程式(リウヴィル方程式)を、量子力学のシュレーディンガー方程式から導出します。
量子状態に対して、古典的な位置と運動量のPVM $\{|X_c,P_c\rangle\langle X_c,P_c|\}$に関する測定確率の時間発展を考えればいいので、$\Delta P^{2}$で割った質量${M}$を用いた
\begin{eqnarray}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ | \langle X_c,P_c|\psi (t)\rangle |^{2} &=& \langle \psi(t)|[|X_c,P_c\rangle \langle X_c,P_c|,\ H(\hat X,\hat P)]|\psi(t)\rangle \\
H(\hat X, \hat P) &:=& \frac{\hat P^{2}}{2{M}} + V(\hat X)
\end{eqnarray}
を計算すると、これまでの結果から$\psi(X_c,P_c,t):=\langle X_c,P_c|\psi(t)\rangle$を用いて、
\begin{eqnarray}
i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\ | \psi(X_c,P_c,t)|^{2} &=& \frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\langle\psi(t)|[|X_c,P_c\rangle \langle X_c,P_c|,\ \hat X]|\psi(t)\rangle \\
&&+\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\langle\psi(t)|[|X_c,P_c\rangle \langle X_c,P_c|,\ \hat P]|\psi(t)\rangle \\
&=& \frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\psi^{*}(X_c,P_c,t)\langle X_c,P_c|\hat X|\psi(t)\rangle \\
&&- \frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\langle \psi(t)|\hat X|X_c,P_c\rangle\psi(X_c,P_c,t) \\
&&+\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\psi^{*}(X_c,P_c,t)\langle X_c,P_c|\hat P|\psi(t)\rangle \\
&&- \frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\langle \psi(t)|\hat P|X_c,P_c\rangle\psi(X_c,P_c,t) \\
&=& \frac{i\hbar}{\Delta X\Delta P}\frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\psi^{*}(X_c,P_c,t)\frac{\partial\psi(X_c,P_c,t)}{\partial P_c} \\
&&+\frac{i\hbar}{\Delta X\Delta P}\frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\frac{\partial \psi^{*}(X_c,P_c,t)}{\partial P_c}\psi(X_c,P_c,t) \\
&&-\frac{i\hbar}{\Delta X\Delta P}\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\psi^{*}(X_c,P_c,t)\frac{\partial\psi(X_c,P_c,t)}{\partial X_c} \\
&&- \frac{i\hbar}{\Delta X\Delta P}\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\frac{\partial\psi^{*}(X_c,P_c,t)}{\partial X_c}\psi(X_c,P_c,t) \\
&=& \frac{i\hbar}{\Delta X\Delta P}\left(\frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\frac{\partial }{\partial P_c}-\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\frac{\partial }{\partial X_c}\right)|\psi(X_c,P_c,t)|^{2}
\end{eqnarray}
となります。
$T:=t/\Delta X\Delta P$として$\psi(X_c,P_c,\Delta X\Delta P T)$を改めて$\psi(X_c,P_c,T)$と書くと、
\begin{eqnarray}
\frac{\partial}{\partial T}\ | \psi(X_c,P_c,T)|^{2}&=& \left( \frac{\partial H}{\partial X}(X_c,P_c)\frac{\partial }{\partial P_c}-\frac{\partial H}{\partial P}(X_c,P_c)\frac{\partial }{\partial X_c}\right) |\psi(X_c,P_c,T)|^{2}
\end{eqnarray}
が得られ、これは古典力学におけるリウヴィル方程式になっています。
よって、シュレディンガー方程式からリウヴィル方程式を導出することができました。
*1:この位相因子は作用するベクトルに依存しないため、状態(確率分布)に対しては影響を及ぼしません。しかし、この非可換性のために古典力学とは大きく異なる物理的性質を持つことになります。
*2:前回の記事では古典力学そのものをヒルベルト空間を使用した量子論形式で扱うという話をしました。今回は量子力学を前提に、その中の特定の測定として古典力学をモデル化する事を目指します。
*3:量子力学系を対象に並進操作を施すので、並進操作のユニタリ演算子は量子力学のものを使用する必要があります。
*4:部分空間とは言いましたが、実際には元のヒルベルト空間で完全系をなす$|n,k\rangle$の具体例を構成することができます。
*5:異なっているように見える比例係数は微分演算子に吸収できます。
*6:スケールのイメージがつきやすいように無次元量$X_c,P_c$で表記していますが、古典力学の表式と完全に同じものです。また、積分ではなく和の形をしていますが、$|X_c,P_c\rangle':=|X_c,P_c\rangle/\epsilon_x\epsilon_p$を定義して$\epsilon_x,\ \epsilon_p$が小さい極限をとると積分の形にすることができます。
